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개정 7차 교육과정 수학Ⅰ에서의 프랙탈 기하학

  • 박기태 (교육대학원 수학교육전공)

초록/요약

논문 개요 프랙탈이란 단어는 불규칙하고 조각나 있으며 들쭉날쭉한 형상을 묘사하고 계산하며 생각하는 방법이고, 그러한 복잡한 형상 안에 숨어있는 조직적인 구조를 암시한다. 따라서 프랙탈 기하는 자연 속에 복잡한 모양과 현상을 밝히는 수단이며 전체와 부분에 내재하는 유사성을 만들어 내는 객관적인 방법을 연구하는 것이다. 우리나라 수학과 교육과정에서 프랙탈과 관련있는 단원은 극한 및 무한급수라 할 수 있다. 그리고 이를 시각적 자료로 접근할 수 있는 단원은 무한급수의 활용으로써 자기유사성을 가진 도형에 대하여 길이 또는 면적을 알아보고 있다. 그리고 7차 수학과 교육과정에서의 프랙탈 기하학은 수학Ⅰ교과서에서도 소개되었지만 하나의 수학적 이론을 소개하는 한계점을 가지고 있었다. 개정 7차 수학과 교육과정에서는 여러 가지 현상을 관찰, 분석, 조직하여 수학적으로 조직하여 수학적으로 표현하고 의사소통, 토론 등을 통하여 반성적 사고를 유발시켜 수학적 사고를 명확히 하는 것을 중요시 하고 있다. 따라서 본 논문에서는 개정 7차 교육과정에 맞추어 수학Ⅰ교과서를 분석하였다. 14종의 수학Ⅰ교과서 중에서 프랙탈에 관련하여 직접적으로 탐구활동으로 제시한 교과서가 11종이며 대부분의 교과서가 프랙탈 기하에 대하여 수학적 이론이 아닌 산, 강, 번개 등으로 주위 일상생활에서 찾아볼 수 있는 것으로 제시하고 있다. 그리고 프랙탈 기하학에 대하여 소개하는 것에 그치지 않고 몇 개의 교과서에서는 자기유사성의 단계에 따라 길이 또는 면적의 유의미한 값을 구해보는 것을 제시하고 있다. 이는 시각적 자료를 통해 단계별로 변화하는 모습을 예측하여 보고 무한적으로 단계에 이를 때, 유의미한 값이 수렴하는지의 여부도 판단할 수 있게 된다. 그리고 수능 기출 문제를 통하여 문제 활용도에 대하여도 생각하여 보았다. 이는 무한급수의 활용에 따라 프랙탈 이론이 고정되어져 있는 것이 아니라 자기유사성이라는 성질을 가진 기하학으로 발전되어짐을 의미한다. 초기의 수능에서는 한 도형의 자기유사성의 유의미한 값을 구하는 문제인 것에서 근래의 수능에서는 몇 가지 복합적인 도형에서 유의미한 값을 구하는 문제가 나타나고 있다. 기하학에서 시각적 자료는 중요하다. 시각적 자료를 통해 인식, 관찰, 분석하고 의사소통으로 반성적 사고를 유발하는 것은 수학적 지식을 명확히 하는 것은 개정 7차 교육과정이 추구하는 바이다. 본 논문에서는 개정 7차 교육과정의 수학Ⅰ교과서에서 프랙탈 기하로 가장 많이 소개 된 코흐곡선, 시어핀스키 삼각형, 피타고라스 나무 순으로 시각적 자료를 제시하고 여기서 유의미한 값을 구하여 보았다. 따라서 프랙탈의 가장 중요한 성질은 자기유사성을 가진 도형을 말하며, 이를 수학수업에서 시각적으로 나타내어지고 극한의 개념을 통해 수렴할 경우, 유의미한 값을 구해봄으로써 수학적 지식으로 명확히 하는 것에 목표가 되어져야 한다고 생각한다. 그리고 수학적 이론이 고정되어져 있는 것이 아니라 발전하고 일상생활에서 쉽게 접근할 수 있는 것이며, 수학이라는 것이 고정되고 어렵고 복잡한 것이 아니라는 것에 프랙탈이 수단이 되어 학생들이 수학에 대하여 긍정적 태도를 갖기를 바란다.

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목차

Ⅰ. 서론
1. 연구의 필요성과 목적 1
2. 연구 문제 2
3. 연구의 제한점 3
4. 기대되는 효과 3

Ⅱ. 이론적 배경
1. 프랙탈의 기원과 정의 4
2. 프랙탈의 창시자 베노이트 만델브로트 5
3. 프랙탈의 예 6
1) 자연에서의 프랙탈 기하학 6
2) 고전에서의 프랙탈 기하학 11
4. 선행연구의 고찰 ∙ 19

Ⅲ. 수학Ⅰ교과서의 프랙탈 기하학 분석
1. 개정 7차 교육과정 수학Ⅰ교과서의 프랙탈 기하학 분석 24
2. 활용 가능한 프랙탈 지도 활동방안 연구 40
3. 관련 대학수학능력시험 기출문제 50



Ⅳ. 결론 및 제언
1. 요약 및 결론 60
2. 제언 62

참고문헌 63

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